Биллиарды, книжки, эллипсоиды: как математики из МГУ расширяют границы науки

В этом году специалисты механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова Виктория Ведюшкина, Владислав Кибкало и Глеб Белозёров стали лауреатами премии Президента Российской Федерации в области науки и инноваций для молодых ученых. Ключевая тема их работы — исследование обобщенных биллиардов и топологическое моделирование гамильтоновых систем. Эти понятия относятся к фундаментальной математике — разделу, который изучает абстрактные структуры и законы, лежащие в основе многих наук.


Редакция портала «Наука.рф» попросила ученых объяснить, что скрывается за этими терминами, как подобные исследования влияют на прикладные области и какую роль они играют в современной науке.

 — Как каждый из вас пришел в математику? И как получилось, что ваши пути пересеклись?

Виктория: Изначально я выбрала математику, потому что не хотела заниматься экспериментальными исследованиями. Помню, как у нас в одиннадцатом классе проходили лабораторные работы по физике: нужно всё точно рассчитать, а там всё время возникает какая-нибудь погрешность. Опускаешь шарик в колбу, рука дрогнет, не вовремя нажмешь кнопку секундомера — и всё идет не так. Мне нравились естественнонаучные предметы, но математика для меня была самой чистой наукой: ты можешь сделать предположение и развивать из него новую теорию. Нужны только ручка и бумага.

На втором курсе мехмата МГУ я выбрала кафедру дифференциальной геометрии и приложений и пошла под научное руководство к академику Анатолию Тимофеевичу Фоменко. Я не очень хотела оставаться в науке, но всегда стремилась максимально погрузиться в то, что изучаю. Со временем у меня накопилось много материала. Я решила остаться в этой области, поступила в аспирантуру, защитила кандидатскую диссертацию, а затем и докторскую.

Владислав: В школе мне тоже были интересны математика и естественнонаучные предметы. Я участвовал в олимпиадах по физике, химии, географии. Когда я поступил на мехмат МГУ, то увидел перед собой яркие примеры ведущих математиков — профессоров факультета. Мне хотелось развиваться в этом направлении, хотя я сомневался поначалу, получится ли у меня. На втором курсе я пошел на спецкурс Анатолия Тимофеевича Фоменко и был восхищен тем, как можно преподавать геометрию не скучно и понятно. Ведь это трудный для объяснения предмет, где «многомерные» эффекты приходится изображать и передавать на двумерной доске. Поэтому тоже решил идти под его научное руководство. На четвертом курсе я познакомился с Викторией. С тех пор вот уже десять лет мы замечательно работаем вместе.

Глеб: Мой папа — учитель математики. Именно он привил мне любовь к этой науке. В десятом классе я понял, что хочу поступать на механико-математический факультет МГУ. В вузе мне понравились лекции Анатолия Тимофеевича, я попросился к нему в ученики. На третьем курсе я работал под руководством Виктории — так и присоединился к команде.

 — Ваши исследования связаны с обобщенными биллиардами и гамильтоновыми системами. Можете объяснить для неспециалистов: что это и зачем их изучать?

Владислав: Гамильтоновы системы — это большой класс механических систем. Они описывают процессы, которые зависят от ограниченного числа параметров. Среди них есть системы, в которых учитывается закон сохранения энергии. Со временем она может рассеиваться, но поскольку делает это медленно, можно использовать свойства ее сохранения для анализа.

Мы изучаем более узкий подкласс — интегрируемые системы. Помимо энергии, у них есть еще одна сохраняющаяся величина. Это позволяет нам описать все возможные состояния системы не сложным многомерным пространством, а пересечением простых поверхностей — например, окружности или тора (поверхности бублика).

Представьте, что частица бегает по тору, а разным значениям энергии соответствуют разные бублики. Иногда они перестраиваются: например, две окружности пересекаются и превращаются в восьмерку, а затем в одну окружность. Топологический подход позволяет описывать и предсказывать, как будут двигаться траектории вблизи таких перестроек — бифуркаций.

Виктория: Такие системы часто встречаются в реальной жизни: вращение юлы, поведение тела в жидкости или в невесомости.

Например, с помощью одной из наших моделей можно описать динамический эффект, который наблюдал в невесомости космонавт Владимир Александрович Джанибеков. Представьте себе движение гайки в космосе: сначала она вращается в одну сторону, потом резко начинает вращаться в другую. Почему так происходит? Всё дело в бифуркации — той самой перестройке, о которой говорит Владислав. В этом случае у траектории есть два пересечения: одно из них отвечает за движение в одну сторону, второе — за движение в другую. Когда траектория оказывается вблизи одного из пересечений, она в определенный момент переходит к другому. Поэтому гайка переворачивается.

Эффект Джанибекова

Но это сейчас мы всё объясняем на словах. Наш топологический подход заключается в том, чтобы рисовать картинки, а не писать формулы. Он позволяет наглядно представить разные положения в механике.

 — Что насчет биллиардов?

Виктория: Проблема в том, что гамильтоновы системы в виде формул не очень наглядны. Мы смогли найти универсальный и понятный способ, с помощью которого можно описать как уже известные, так и еще неизвестные гамильтоновы системы.

Слово «биллиард» наверняка ассоциируется у вас с одноименной настольной игрой (бильярдом). В нашем случае это тоже бильярд, но математический. Мне удалось открыть новый класс систем — так называемые биллиардные книжки. Представьте книгу: у нее есть страницы и корешок. Каждая страница — это бильярдный стол. Точка движется по одной странице, подобно бильярдному шару, отражается от краев, а когда попадает на корешок, переходит на соседнюю страницу и продолжает движение.


Листов и корешков в таких книжках может быть много. Но главное: при выборе подходящей формы стола многие из них с топологической точки зрения оказываются эквивалентны уже известным классическим гамильтоновым системам, описывающим вращение тел, движение волчков, твердых тел в жидкости и многое другое.

В этом и заключается смысл нашей работы — придумать наглядный подход, позволяющий моделировать сложные системы. Для многих сложных систем мы можем построить биллиардную книжку и увидеть, как будут выглядеть критические движения. Причем оказалось, что класс таких обобщенных биллиардов гораздо шире, чем все ранее известные плоские бильярдные столы.

Глеб: Отмечу, что теория биллиардных книжек, которую разработала Виктория, подходит для описания двумерных систем. Я занимался трехмерными и многомерными биллиардами. Также мне удалось доказать обобщение фундаментальной теоремы, на которой строится наша биллиардная наука, — теоремы Якоби — Шаля. Она сложная, не будем вдаваться в подробности. Самое важное — нам удалось получить еще одно обобщение, которое расширяет класс интегрируемых биллиардных систем: теперь биллиарды можно изучать не только в локально-плоских областях, но и в подмножествах пересечения нескольких софокусных квадрик (например, эллипсов, гипербол и парабол).

 — Ваши исследования довольно фундаментальные. Тем не менее, могут ли они найти применение, например, в области искусственного интеллекта?

Владислав: Да, недавно мы получили интересные результаты. Оказалось, что наши биллиардоподобные системы помогают бороться с проблемой переобучения — когда нейросеть хорошо решает узкий круг задач, а на похожих примерах начинает ошибаться. Первая статья по этой теме вышла в январе 2026 года в авторитетном международном журнале по инженерным и компьютерным наукам IEEE Access.

Виктория: У нашей работы есть еще одно важное значение. Дело в том, что в математике существует много научных школ. Каждая из них глубоко изучает свою узкую тему. Например, в Челябинском университете изучают маломерную топологию, в Нижнем Новгороде — потоки Морса — Смейла. Но когда находятся точки соприкосновения между разными научными областями, это обогащает обе ветви науки.

Например, оказалось, что наши биллиарды связаны с маломерной топологией: сложные трехмерные многообразия, которые исследуют коллеги, могут возникать из простых бильярдных столов. Это позволяет по-новому взглянуть на их свойства. А наши гамильтоновы системы перекликаются с эффектами, которые изучают в Нижнем Новгороде. Так мы находим мостики между разными областями математики. Это укрепляет фундамент науки.

 — Что вас больше всего вдохновляет в работе?

Виктория: Мне нравится делать открытия. Еще я очень люблю работать со студентами: читать лекции, помогать на начальных этапах, предлагать идеи. У нас есть семинар, где мы вместе с Владиславом и Глебом занимаемся с ребятами. Атмосфера на этих занятиях очень нас поддерживает.

Владислав: Самое интересное — это открывать что-то, о чем раньше никто не знал. Говорят, что математика похожа на архитектуру и археологию. На архитектуру — потому что ты создаешь красивые конструкции. На археологию — поскольку математический результат в каком-то смысле не зависит от наблюдателя. Если у нас есть система предположений, то вывод существует независимо от того, есть ли человек, который это понимает. И когда кто-то к нему приходит, можно считать, что этот человек обнаружил артефакт и показал его миру.


Еще один важный аспект нашей работы — подготовка кадров. Студенты нашей кафедры могут изучать современную математику на высоком уровне. Во многом это заслуга руководителя кафедры и школы, академика Анатолия Тимофеевича Фоменко. На этом фундаменте развивается деятельность нашей молодежной научной группы. Лекции Виктории очень популярны, многие ребята приходят к нам, начинают углубленно заниматься геометрией и механикой. Я рад, что у нас сложилась такая команда, где каждый помогает друг другу. Мы вместе решаем задачи, ездим на конференции, общаемся. Это очень заряжает и поддерживает интерес к науке.

Глеб: Меня вдохновляют нерешенные задачи — даже из других областей. Всегда хочется не просто дать ответ, а найти красивое решение.

 — Что значит «красивое решение» в математике?

Глеб: Короткий и нестандартный способ. Такой, который не занимает десять страниц.

 — Что бы вы пожелали молодым ученым в вашей научной области?

Виктория: Не бояться сложных задач, подходить к людям и общаться. В математике коллеги, как правило, доброжелательные. Задавайте вопросы, рассказывайте о своих исследованиях — любые обсуждения создают благодатную почву для будущих достижений.


Владислав: Не бойтесь предлагать новые задачи, пользуйтесь возможностями, которые доступны. Идите туда, где есть команда и кипит жизнь. Потому что наука — это командная работа. И главное: не гонитесь за быстрыми дивидендами. Результаты признаются не сразу: сначала ты получаешь опыт, нарабатываешь контакты и базу, с которой дальше участвуешь в новых исследованиях.

Глеб: Да, нужно много работать. Не бояться обсуждать трудности с научным руководителем. Обязательно говорить о своих исследованиях и результатах — коллегам, наставникам, научному сообществу. Они могут вам что-то подсказать, поделиться идеями. Это самое ценное в научной работе.

 — Какие материалы порекомендуете, чтобы познакомиться с научной областью, в которой вы работаете?

Владислав: Можно почитать обзорную статью В. В. Ведюшкиной и А. Т. Фоменко «Биллиарды и интегрируемые системы», опубликованную в 2023 году в центральном математическом журнале «Успехи математических наук». Есть статья А. Т. Фоменко, А. И. Шафаревича и В. А. Кибкало о недавних результатах кафедры в выпуске «Вестника Московского университета», посвященном 270-летию МГУ.

Силами проекта Teach-in для студентов мехмата МГУ мы с Викторией записали курс «Топология интегрируемых биллиардов».

Кроме того, могу порекомендовать учебное пособие с вводным конспектом, подготовленным Викторией и мной (2025 год, издательство: МАКС-Пресс). Ссылки на интервью и комментарии, которые Виктория, Глеб и я давали за последние полгода, в том числе для телепередачи «Чёрные дыры. Белые пятна» и в газете «Взгляд», есть на наших личных страницах в системе «Истина» МГУ.

Беседовала Анна Шиховец