Математики опровергли гипотезу 1985 года о двухъярусной кровати

Математики из России и США смогли доказать, что известная гипотеза о двухъярусной кровати, сформулированная в 1985 году нидерландским физиком Питером Кастелейном для описания сложных физических процессов, не является всегда верной для всех возможных случаев. Об этом сообщила пресс-служба НИУ ВШЭ.


Гипотеза о двухъярусной кровати хоть и не имела убедительного доказательства, считалась верной на протяжении 40 лет. Она относится к теории перколяции — разделу математики, изучающему возникновение связанных структур в независимых средах. Питер Кастелейн создал эту гипотезу, когда хотел математически описать, как жидкости просачиваются через пористые поверхности, например как вода наполняет губку.

Гипотеза основывается на случайных соединениях вершин в воображаемом графе, похожем на двухъярусную кровать. Она утверждает, что вероятность возникновения связи между двумя вершинами на одном уровне выше, чем вероятность связи между уровнями. Это утверждение интуитивно кажется верным, но до недавнего времени никто не находил убедительного доказательства, которое бы подтвердило или опровергло его. По мнению скептиков, утверждение носит слишком общий характер и не может быть верным для всех случаев. 

Чаще всего в математике стараются найти доказательство верности утверждения, лишь изредка работа направлена на опровержение. Но команда математиков из России — Игорь Пак, Никита Гладков и Александр Зимин — сумела найти контрпример, который разрушил гипотезу.

«Вообще, с двухъярусной кроватью мы с моим товарищем и коллегой Никитой Гладковым познакомились еще на первом курсе Вышки. Мы были соседями по общежитию, и у нас в комнате была та самая двухъярусная кровать, — отметил один из авторов статьи, аспирант факультета математики НИУ ВШЭ Александр Зимин. — В случае с гипотезой о двухъярусной кровати мы понимали, что она верна для большинства случаев. Но нас интересовал вопрос, есть ли такие редкие случаи, для которых она была бы ложной».

Сначала команда пыталась найти контрпример с помощью методов машинного обучения. Исследователи обучили нейросеть находить возможные связи в графах и пытались перебрать все варианты. Однако для графов, у которых было больше девяти вершин, количество возможных вариантов связей стремительно возрастало, и масштаб задачи быстро превысил возможности анализа. Доказательство не нашли.

Тогда ученые адаптировали методы гиперграфов, для которых уже существовало опровержение гипотезы двухъярусной кровати, к классическим графам и построили очень сложную структуру, содержащую тысячи вершин и ребер. В получившемся графе вероятность связи между верхним и нижним уровнями оказалась чуть более высокой, чем вероятность связи на нижнем уровне, что и позволило разрушить гипотезу.

«Мы с соавторами, Игорем Паком и Никитой Гладковым, которые сейчас работают в UCLA, отлично дополняли друг друга в этой задаче. Я предпочитаю использовать численные методы. На мой взгляд, чтобы хорошо понять задачу, нужно уметь ее запрограммировать, объяснить компьютеру. А вот Никита считает иначе и предпочитает опираться на более абстрактный, интуитивный уровень», — рассказал Александр Зимин.

«Гипотезу долгое время не могли опровергнуть. Или не хотели, ведь она была красивая, элегантная. Однако, на мой взгляд, опровержение не разрушает красоту, а, наоборот, доказывает, что мир гораздо интереснее и сложнее, чем мы думали», — уверен математик. 

Найденный контрпример ставит перед наукой фундаментальные вопросы о том, можно ли полагаться на интуицию, насколько важен критический подход в математике, а также в целом об интерпретации доказательств, основанных на вероятностных данных, подчеркнули в пресс-службе ВШЭ.